lab 11 state feedback

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.23.8%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%0A%20%20%20%20return%20mo%2C%20np%2C%20plt%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Chapter%2011%20Coding%20Lab%3A%20Full-State%20Feedback%0A%0A%20%20%20%20Implement%20state-feedback%20design%20for%20this%20specific%20controllable%0A%20%20%20%20second-order%20plant%3A%0A%0A%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%5Cdot%7Bx%7D%20%3D%20Ax%20%2B%20Bu%2C%5Cqquad%20y%20%3D%20Cx%2C%0A%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20A%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D0%20%26%201%5C%5C%20-2%20%26%20-3%5Cend%7Bbmatrix%7D%2C%5Cquad%0A%20%20%20%20B%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D0%5C%5C%201%5Cend%7Bbmatrix%7D%2C%5Cquad%0A%20%20%20%20C%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D1%20%26%200%5Cend%7Bbmatrix%7D.%0A%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20Equivalently%2C%20the%20plant%20is%0A%0A%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20y''%20%2B%203y'%20%2B%202y%20%3D%20u%2C%0A%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20with%20states%20%5C(x_1%3Dy%5C)%20and%20%5C(x_2%3D%5Cdot%7By%7D%5C).%20Design%20full-state%0A%20%20%20%20feedback%20%5C(u%3D-Kx%2Bk_r%20r%5C)%20to%20place%20the%20closed-loop%20poles%20at%0A%20%20%20%20%5C(-2%5C)%20and%20%5C(-5%5C).%20The%20lab%20checks%20controllability%2C%20feedback%20gain%2C%0A%20%20%20%20reference%20gain%2C%20closed-loop%20poles%2C%20and%20simulated%20unit-step%20tracking.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20starter%20%3D%20%22%5Cn%22.join(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22import%20numpy%20as%20np%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22def%20controllability_matrix(A%2C%20B)%3A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%20%20%20%20%23%20Plant%20used%20by%20the%20tests%3A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%20%20%20%20%23%20A%20%3D%20%5B%5B0%2C%201%5D%2C%20%5B-2%2C%20-3%5D%5D%2C%20B%20%3D%20%5B%5B0%5D%2C%20%5B1%5D%5D%2C%20C%20%3D%20%5B%5B1%2C%200%5D%5D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%20%20%20%20%23%20This%20corresponds%20to%20y''%20%2B%203%20y'%20%2B%202%20y%20%3D%20u%20with%20x1%20%3D%20y%2C%20x2%20%3D%20y'.%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%20%20%20%20%23%20TODO%3A%20return%20the%20controllability%20matrix%20for%20this%20second-order%20example.%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%20%20%20%20return%20np.zeros((2%2C%202))%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22def%20design_state_feedback(A%2C%20B%2C%20C%2C%20desired_poles)%3A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%20%20%20%20%23%20For%20this%20plant%20A%20%3D%20%5B%5B0%2C%201%5D%2C%20%5B-2%2C%20-3%5D%5D%2C%20B%20%3D%20%5B%5B0%5D%2C%20%5B1%5D%5D%2C%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%20%20%20%20%23%20place%20the%20closed-loop%20poles%20at%20desired_poles%20%3D%20%5B-2%2C%20-5%5D.%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%20%20%20%20%23%20The%20desired%20characteristic%20polynomial%20is%20(s%20%2B%202)(s%20%2B%205)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%20%20%20%20%23%20%3D%20s%5E2%20%2B%207s%20%2B%2010.%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%20%20%20%20%23%20With%20u%20%3D%20-Kx%20%2B%20kr*r%20and%20K%20%3D%20%5Bk1%2C%20k2%5D%2C%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%20%20%20%20%23%20A%20-%20B%20K%20has%20characteristic%20polynomial%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%20%20%20%20%23%20s%5E2%20%2B%20(3%20%2B%20k2)s%20%2B%20(2%20%2B%20k1).%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%20%20%20%20%23%20Return%20K%20as%20shape%20(1%2C%202)%20and%20kr%20as%20a%20scalar.%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%20%20%20%20K%20%3D%20np.zeros((1%2C%202))%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%20%20%20%20kr%20%3D%200.0%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%20%20%20%20return%20K%2C%20kr%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(starter%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20starter)%3A%0A%20%20%20%20code_editor%20%3D%20mo.ui.code_editor(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3Dstarter%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20language%3D%22python%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Student%20task%3A%20implement%20controllability_matrix()%20and%20design_state_feedback()%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20min_height%3D300%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20code_editor%0A%20%20%20%20return%20(code_editor%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(code_editor)%3A%0A%20%20%20%20namespace%20%3D%20%7B%7D%0A%20%20%20%20compile_error%20%3D%20None%0A%20%20%20%20try%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20exec(code_editor.value%2C%20namespace)%0A%20%20%20%20except%20Exception%20as%20exc%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20compile_error%20%3D%20f%22Code%20error%3A%20%7Bexc%7D%22%0A%20%20%20%20return%20compile_error%2C%20namespace%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np)%3A%0A%20%20%20%20A%20%3D%20np.array(%5B%5B0.0%2C%201.0%5D%2C%20%5B-2.0%2C%20-3.0%5D%5D)%0A%20%20%20%20B%20%3D%20np.array(%5B%5B0.0%5D%2C%20%5B1.0%5D%5D)%0A%20%20%20%20C%20%3D%20np.array(%5B%5B1.0%2C%200.0%5D%5D)%0A%20%20%20%20desired_poles%20%3D%20np.array(%5B-2.0%2C%20-5.0%5D)%0A%0A%20%20%20%20def%20simulate(A%2C%20B%2C%20C%2C%20K%2C%20kr%2C%20dt%3D0.002%2C%20t_end%3D5.0)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20t%20%3D%20np.arange(0.0%2C%20t_end%20%2B%20dt%2C%20dt)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%20%3D%20np.zeros((len(t)%2C%202))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%20%3D%20np.zeros(len(t))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20u%20%3D%20np.zeros(len(t))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%20%3D%201.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20k%20in%20range(len(t)%20-%201)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20uk%20%3D%20float(-K%20%40%20x%5Bk%2C%20%3A%5D.reshape(-1%2C%201)%20%2B%20kr%20*%20r)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20u%5Bk%5D%20%3D%20uk%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xdot%20%3D%20A%20%40%20x%5Bk%2C%20%3A%5D.reshape(-1%2C%201)%20%2B%20B%20*%20uk%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%5Bk%20%2B%201%2C%20%3A%5D%20%3D%20x%5Bk%2C%20%3A%5D%20%2B%20dt%20*%20xdot.ravel()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%5Bk%5D%20%3D%20float(C%20%40%20x%5Bk%2C%20%3A%5D.reshape(-1%2C%201))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%5B-1%5D%20%3D%20float(C%20%40%20x%5B-1%2C%20%3A%5D.reshape(-1%2C%201))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20u%5B-1%5D%20%3D%20u%5B-2%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20t%2C%20y%2C%20u%0A%0A%20%20%20%20return%20A%2C%20B%2C%20C%2C%20desired_poles%2C%20simulate%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(A%2C%20B%2C%20C%2C%20compile_error%2C%20desired_poles%2C%20mo%2C%20namespace%2C%20np%2C%20plt%2C%20simulate)%3A%0A%20%20%20%20feedback%20%3D%20%22%22%0A%20%20%20%20plot_obj%20%3D%20None%0A%20%20%20%20if%20compile_error%20is%20not%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20feedback%20%3D%20f%22**Fix%20code%20first%3A**%20%7Bcompile_error%7D%22%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20try%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20controllability_matrix%20%3D%20namespace.get(%22controllability_matrix%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20design_state_feedback%20%3D%20namespace.get(%22design_state_feedback%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20controllability_matrix%20is%20None%20or%20design_state_feedback%20is%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(%22Required%20functions%20are%20missing.%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ctrb%20%3D%20np.asarray(controllability_matrix(A%2C%20B)%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20K%2C%20kr%20%3D%20design_state_feedback(A%2C%20B%2C%20C%2C%20desired_poles)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20K%20%3D%20np.asarray(K%2C%20dtype%3Dfloat).reshape(1%2C%202)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20kr%20%3D%20float(kr)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20eigs%20%3D%20np.linalg.eigvals(A%20-%20B%20%40%20K)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20t%2C%20y%2C%20u%20%3D%20simulate(A%2C%20B%2C%20C%2C%20K%2C%20kr)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rank_ok%20%3D%20ctrb.shape%20%3D%3D%20(2%2C%202)%20and%20np.linalg.matrix_rank(ctrb)%20%3D%3D%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20gain_ok%20%3D%20np.allclose(K%2C%20np.array(%5B%5B8.0%2C%204.0%5D%5D)%2C%20atol%3D1e-3)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20kr_ok%20%3D%20abs(kr%20-%2010.0)%20%3C%3D%201e-3%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pole_ok%20%3D%20np.allclose(np.sort(eigs)%2C%20desired_poles%2C%20atol%3D1e-2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20tracking_ok%20%3D%20abs(y%5B-1%5D%20-%201.0)%20%3C%3D%200.03%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20passed%20%3D%20rank_ok%20and%20gain_ok%20and%20kr_ok%20and%20pole_ok%20and%20tracking_ok%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20feedback%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%3Cdiv%3E%3Cstrong%3Edesign_check()%3A%20%7B'PASS'%20if%20passed%20else%20'FAIL'%7D%3C%2Fstrong%3E%3C%2Fdiv%3E%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%3Cul%3E%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%3Cli%3Econtrollability%20rank%3A%20%7B'PASS'%20if%20rank_ok%20else%20'FAIL'%7D%3C%2Fli%3E%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%3Cli%3EK%20%3D%20%5B8%2C%204%5D%3A%20%7B'PASS'%20if%20gain_ok%20else%20'FAIL'%7D%3C%2Fli%3E%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%3Cli%3Ekr%20%3D%2010%3A%20%7B'PASS'%20if%20kr_ok%20else%20'FAIL'%7D%3C%2Fli%3E%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%3Cli%3Eclosed-loop%20poles%20at%20-2%20and%20-5%3A%20%7B'PASS'%20if%20pole_ok%20else%20'FAIL'%7D%3C%2Fli%3E%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%3Cli%3Eunit%20step%20tracking%3A%20%7B'PASS'%20if%20tracking_ok%20else%20'FAIL'%7D%3C%2Fli%3E%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%3C%2Ful%3E%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fig%2C%20ax%20%3D%20plt.subplots(2%2C%201%2C%20figsize%3D(8.5%2C%205.8)%2C%20sharex%3DTrue)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ax%5B0%5D.plot(t%2C%20y%2C%20linewidth%3D2%2C%20label%3D%22y(t)%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ax%5B0%5D.axhline(1.0%2C%20color%3D%22%23555%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20label%3D%22r%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ax%5B0%5D.set_ylabel(%22Output%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ax%5B0%5D.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ax%5B0%5D.legend()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ax%5B1%5D.plot(t%2C%20u%2C%20color%3D%22%230b7285%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ax%5B1%5D.set_ylabel(%22Control%20u%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ax%5B1%5D.set_xlabel(%22Time%20(s)%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ax%5B1%5D.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fig.tight_layout()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20plot_obj%20%3D%20fig%0A%20%20%20%20%20%20%20%20except%20Exception%20as%20exc%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20feedback%20%3D%20f%22**Runtime%20error%3A**%20%7Bexc%7D%22%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5Bmo.md(feedback)%2C%20plot_obj%20if%20plot_obj%20is%20not%20None%20else%20mo.md(%22_No%20plot%20available._%22)%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A