fig 8 8 response to zero

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.23.8%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%0A%20%20%20%20return%20mo%2C%20np%2C%20plt%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20tau%20%3D%20mo.ui.slider(-0.8%2C%200.8%2C%20step%3D0.02%2C%20value%3D0.0%2C%20label%3D%22Zero%20parameter%20%CF%84%22)%0A%20%20%20%20allow_extra%20%3D%20mo.ui.checkbox(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Allow%20additional%20parameter%20changes%20(%CE%B6%20and%20%CF%89_n)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20zeta%20%3D%20mo.ui.slider(0.2%2C%201.5%2C%20step%3D0.01%2C%20value%3D0.707%2C%20label%3D%22Damping%20ratio%20%CE%B6%22)%0A%20%20%20%20wn%20%3D%20mo.ui.slider(0.5%2C%204.0%2C%20step%3D0.1%2C%20value%3D1.0%2C%20label%3D%22Natural%20frequency%20%CF%89_n%22)%0A%20%20%20%20return%20allow_extra%2C%20tau%2C%20wn%2C%20zeta%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(allow_extra%2C%20mo%2C%20tau%2C%20wn%2C%20zeta)%3A%0A%20%20%20%20controls%20%3D%20%5Btau%2C%20allow_extra%5D%0A%20%20%20%20if%20allow_extra.value%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20controls.extend(%5Bzeta%2C%20wn%5D)%0A%20%20%20%20mo.vstack(controls)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(allow_extra%2C%20mo%2C%20tau%2C%20wn%2C%20zeta)%3A%0A%20%20%20%20zeta_value%20%3D%20zeta.value%20if%20allow_extra.value%20else%200.707%0A%20%20%20%20wn_value%20%3D%20wn.value%20if%20allow_extra.value%20else%201.0%0A%20%20%20%20phase_text%20%3D%20%22RHP-zero-like%20(nonminimum-phase%20tendency)%22%20if%20tau.value%20%3C%200%20else%20%22LHP-zero-like%22%0A%20%20%20%20mode_text%20%3D%20%22expanded%20mode%22%20if%20allow_extra.value%20else%20%22default%20mode%20(%CE%B6%3D0.707%2C%20%CF%89_n%3D1.0)%22%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22**%CF%84%3D%7Btau.value%3A.2f%7D**%2C%20**%CE%B6%3D%7Bzeta_value%3A.3f%7D**%2C%20**%CF%89_n%3D%7Bwn_value%3A.2f%7D**%20(%7Bmode_text%7D)%20%20%5Cn%7Bphase_text%7D%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20wn_value%2C%20zeta_value%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np%2C%20plt%2C%20tau%2C%20wn_value%2C%20zeta_value)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Realization%20for%20H(s)%20%3D%20wn%5E2%20(tau%20s%20%2B%201)%20%2F%20(s%5E2%20%2B%202%20zeta%20wn%20s%20%2B%20wn%5E2)%0A%20%20%20%20a%20%3D%20np.array(%5B%5B0.0%2C%201.0%5D%2C%20%5B-wn_value**2%2C%20-2.0%20*%20zeta_value%20*%20wn_value%5D%5D)%0A%20%20%20%20b%20%3D%20np.array(%5B%5B0.0%5D%2C%20%5B1.0%5D%5D)%0A%20%20%20%20c%20%3D%20np.array(%5Bwn_value**2%2C%20wn_value**2%20*%20tau.value%5D)%0A%0A%20%20%20%20t_end%20%3D%2020.0%0A%20%20%20%20dt%20%3D%200.002%0A%20%20%20%20n%20%3D%20int(t_end%20%2F%20dt)%20%2B%201%0A%20%20%20%20t%20%3D%20np.linspace(0.0%2C%20t_end%2C%20n)%0A%20%20%20%20x%20%3D%20np.zeros((2%2C))%0A%20%20%20%20y%20%3D%20np.zeros((n%2C))%0A%20%20%20%20u%20%3D%201.0%0A%20%20%20%20for%20k%20in%20range(n)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%5Bk%5D%20%3D%20c%20%40%20x%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%20%3D%20x%20%2B%20dt%20*%20((a%20%40%20x)%20%2B%20(b%5B%3A%2C%200%5D%20*%20u))%0A%0A%20%20%20%20fig%2C%20ax%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(8.0%2C%204.3))%0A%20%20%20%20ax.plot(t%2C%20y%2C%20linewidth%3D2.2%2C%20color%3D%22%230b7285%22)%0A%20%20%20%20ax.axhline(1.0%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20linewidth%3D1.2%2C%20color%3D%22%236c757d%22%2C%20alpha%3D0.8)%0A%20%20%20%20ax.set_title(%22Step%20Response%20with%20a%20Single%20Zero%22)%0A%20%20%20%20ax.set_xlabel(%22Time%20(seconds)%22)%0A%20%20%20%20ax.set_ylabel(%22Amplitude%22)%0A%20%20%20%20ax.set_xlim(0.0%2C%20t_end)%0A%20%20%20%20ax.set_ylim(min(-0.5%2C%20y.min()%20-%200.05)%2C%20max(1.4%2C%20y.max()%20%2B%200.05))%0A%20%20%20%20ax.grid(True%2C%20alpha%3D0.35)%0A%20%20%20%20fig.tight_layout()%0A%20%20%20%20fig%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A