fig 8 6 damping ratio

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.23.8%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%0A%20%20%20%20return%20mo%2C%20np%2C%20plt%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np)%3A%0A%20%20%20%20def%20second_order_step_response(t%2C%20wn%2C%20zeta)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20zeta%20%3C%201.0%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20wd%20%3D%20wn%20*%20np.sqrt(1.0%20-%20zeta**2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20phi%20%3D%20np.arctan2(np.sqrt(1.0%20-%20zeta**2)%2C%20zeta)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%201.0%20-%20(np.exp(-zeta%20*%20wn%20*%20t)%20%2F%20np.sqrt(1.0%20-%20zeta**2))%20*%20np.sin(wd%20*%20t%20%2B%20phi)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20zeta%20%3D%3D%201.0%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%201.0%20-%20np.exp(-wn%20*%20t)%20*%20(1.0%20%2B%20wn%20*%20t)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20a%20%3D%20np.sqrt(zeta**2%20-%201.0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20term1%20%3D%20np.exp(-wn%20*%20(zeta%20-%20a)%20*%20t)%20*%20(zeta%20%2B%20a)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20term2%20%3D%20np.exp(-wn%20*%20(zeta%20%2B%20a)%20*%20t)%20*%20(zeta%20-%20a)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%201.0%20-%20(term1%20-%20term2)%20%2F%20(2.0%20*%20a)%0A%0A%20%20%20%20return%20(second_order_step_response%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20zeta%20%3D%20mo.ui.slider(0.05%2C%202.0%2C%20step%3D0.01%2C%20value%3D0.707%2C%20label%3D%22Damping%20ratio%20%CE%B6%22)%0A%20%20%20%20zeta%0A%20%20%20%20return%20(zeta%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20zeta)%3A%0A%20%20%20%20regime%20%3D%20%22under%20damped%22%20if%20zeta.value%20%3C%201.0%20else%20(%22critically%20damped%22%20if%20abs(zeta.value%20-%201.0)%20%3C%201e-9%20else%20%22over%20damped%22)%0A%20%20%20%20mo.md(f%22**%CE%B6%20%3D%20%7Bzeta.value%3A.3f%7D**%20(%7Bregime%7D)%2C%20**%CF%89_n%20%3D%201.0**%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np%2C%20plt%2C%20second_order_step_response%2C%20zeta)%3A%0A%20%20%20%20wn%20%3D%201.0%0A%20%20%20%20t%20%3D%20np.linspace(0.0%2C%2025.0%2C%201200)%0A%20%20%20%20y%20%3D%20second_order_step_response(t%2C%20wn%2C%20zeta.value)%0A%20%20%20%20sigma%20%3D%20-zeta.value%20*%20wn%0A%20%20%20%20if%20abs(zeta.value%20-%201.0)%20%3C%201e-9%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20regime_label%20%3D%20%22critically%20damped%22%0A%20%20%20%20elif%20zeta.value%20%3C%201.0%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20regime_label%20%3D%20%22under%20damped%22%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20regime_label%20%3D%20%22over%20damped%22%0A%0A%20%20%20%20if%20zeta.value%20%3C%201.0%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20wd%20%3D%20wn%20*%20np.sqrt(1.0%20-%20zeta.value**2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20poles%20%3D%20%5Bcomplex(sigma%2C%20wd)%2C%20complex(sigma%2C%20-wd)%5D%0A%20%20%20%20elif%20zeta.value%20%3D%3D%201.0%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20poles%20%3D%20%5Bcomplex(sigma%2C%200.0)%2C%20complex(sigma%2C%200.0)%5D%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20spread%20%3D%20wn%20*%20np.sqrt(zeta.value**2%20-%201.0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20poles%20%3D%20%5Bcomplex(sigma%20%2B%20spread%2C%200.0)%2C%20complex(sigma%20-%20spread%2C%200.0)%5D%0A%0A%20%20%20%20fig%2C%20ax%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(10.5%2C%204.3))%0A%0A%20%20%20%20ax%5B0%5D.plot(t%2C%20y%2C%20linewidth%3D2.2%2C%20color%3D%22%230b7285%22)%0A%20%20%20%20ax%5B0%5D.axhline(1.0%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20linewidth%3D1.2%2C%20color%3D%22%236c757d%22%2C%20alpha%3D0.8)%0A%20%20%20%20ax%5B0%5D.set_title(%22Step%20Response%22)%0A%20%20%20%20ax%5B0%5D.set_xlabel(%22Time%20(seconds)%22)%0A%20%20%20%20ax%5B0%5D.set_ylabel(%22Amplitude%22)%0A%20%20%20%20ax%5B0%5D.set_xlim(0.0%2C%2025.0)%0A%20%20%20%20ax%5B0%5D.set_ylim(-0.2%2C%201.4)%0A%20%20%20%20ax%5B0%5D.grid(True%2C%20alpha%3D0.35)%0A%0A%20%20%20%20ax%5B1%5D.axhline(0.0%2C%20color%3D%22%236c757d%22%2C%20linewidth%3D1.0%2C%20alpha%3D0.7)%0A%20%20%20%20ax%5B1%5D.axvline(0.0%2C%20color%3D%22%236c757d%22%2C%20linewidth%3D1.0%2C%20alpha%3D0.7)%0A%20%20%20%20ax%5B1%5D.scatter(%5Bp.real%20for%20p%20in%20poles%5D%2C%20%5Bp.imag%20for%20p%20in%20poles%5D%2C%20s%3D70%2C%20color%3D%22%23d9480f%22)%0A%20%20%20%20ax%5B1%5D.set_title(%22Pole%20Locations%22)%0A%20%20%20%20ax%5B1%5D.set_xlabel(%22Real%22)%0A%20%20%20%20ax%5B1%5D.set_ylabel(%22Imaginary%22)%0A%20%20%20%20ax%5B1%5D.set_xlim(-2.2%2C%200.5)%0A%20%20%20%20ax%5B1%5D.set_ylim(-2.2%2C%202.2)%0A%20%20%20%20ax%5B1%5D.set_aspect(%22equal%22%2C%20adjustable%3D%22box%22)%0A%20%20%20%20ax%5B1%5D.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.03%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.95%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20regime_label%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20transform%3Dax%5B1%5D.transAxes%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D%22left%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20va%3D%22top%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D10%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23495057%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bbox%3Ddict(boxstyle%3D%22round%2Cpad%3D0.25%22%2C%20facecolor%3D%22white%22%2C%20edgecolor%3D%22%23dee2e6%22%2C%20alpha%3D0.9)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ax%5B1%5D.grid(True%2C%20alpha%3D0.35)%0A%0A%20%20%20%20fig.tight_layout()%0A%20%20%20%20fig%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A