fig 8 4 second order zeta

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.23.8%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%0A%20%20%20%20return%20mo%2C%20np%2C%20plt%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np)%3A%0A%20%20%20%20def%20second_order_step_response(t%2C%20wn%2C%20zeta)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20zeta%20%3C%201.0%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20wd%20%3D%20wn%20*%20np.sqrt(1.0%20-%20zeta**2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20phi%20%3D%20np.arctan2(np.sqrt(1.0%20-%20zeta**2)%2C%20zeta)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%201.0%20-%20(np.exp(-zeta%20*%20wn%20*%20t)%20%2F%20np.sqrt(1.0%20-%20zeta**2))%20*%20np.sin(wd%20*%20t%20%2B%20phi)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20zeta%20%3D%3D%201.0%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%201.0%20-%20np.exp(-wn%20*%20t)%20*%20(1.0%20%2B%20wn%20*%20t)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20a%20%3D%20np.sqrt(zeta**2%20-%201.0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20term1%20%3D%20np.exp(-wn%20*%20(zeta%20-%20a)%20*%20t)%20*%20(zeta%20%2B%20a)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20term2%20%3D%20np.exp(-wn%20*%20(zeta%20%2B%20a)%20*%20t)%20*%20(zeta%20-%20a)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%201.0%20-%20(term1%20-%20term2)%20%2F%20(2.0%20*%20a)%0A%0A%20%20%20%20return%20(second_order_step_response%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20zeta%20%3D%20mo.ui.slider(0.1%2C%202.5%2C%20step%3D0.01%2C%20value%3D0.707%2C%20label%3D%22Damping%20ratio%20%CE%B6%22)%0A%20%20%20%20zeta%0A%20%20%20%20return%20(zeta%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20zeta)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22**%CE%B6%20%3D%20%7Bzeta.value%3A.3f%7D**%2C%20**%CF%89_n%20%3D%201.0**.%20Move%20the%20slider%20to%20see%20overshoot%20and%20damping%20behavior.%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np%2C%20plt%2C%20second_order_step_response%2C%20zeta)%3A%0A%20%20%20%20t%20%3D%20np.linspace(0.0%2C%2035.0%2C%201400)%0A%20%20%20%20wn%20%3D%201.0%0A%20%20%20%20y%20%3D%20second_order_step_response(t%2C%20wn%2C%20zeta.value)%0A%0A%20%20%20%20fig%2C%20ax%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(8.0%2C%204.3))%0A%20%20%20%20ax.plot(t%2C%20y%2C%20linewidth%3D2.2%2C%20color%3D%22%230b7285%22)%0A%20%20%20%20ax.axhline(1.0%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20linewidth%3D1.3%2C%20color%3D%22%236c757d%22%2C%20alpha%3D0.8)%0A%20%20%20%20ax.set_title(%22Second-Order%20Step%20Response%22)%0A%20%20%20%20ax.set_xlabel(%22Time%20(seconds)%22)%0A%20%20%20%20ax.set_ylabel(%22Amplitude%22)%0A%20%20%20%20ax.set_xlim(0.0%2C%2035.0)%0A%20%20%20%20ax.set_ylim(-0.05%2C%201.6)%0A%20%20%20%20ax.grid(True%2C%20alpha%3D0.35)%0A%20%20%20%20fig.tight_layout()%0A%20%20%20%20fig%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A